Wie alles begann...
Das Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Modell (ARCH-Modell) wurde von Robert Fry Engle (*1942) im Jahr 1982 entwickelt und gehört zu den Zeitreihenmodellen, die im Rahmen der Finanzanalyse zu verschiedenen Zwecken genutzt werden. Man denke an Prognosemodelle oder die Korrektur erhobener Daten mit Blick auf saisonale Effekte.
In den 1970er Jahren wurde der Fokus stark auf ARMA-Modelle gelegt, die gegebene Datenpunkte als lineare Funktion vergangener Werte sowie aktueller und vergangener Fehlerwerte modellierten. Diese Herangehensweise hatte jedoch gleich zwei Probleme: die Modellierung war zwangsläufig beschränkt auf lineare Modellierungen und es gibt keinerlei Restriktionen, die sich mit Phänomenen wie Autoregression oder dem gleitenden Mittelwert der Daten beschäftigen. Aus diesem Grund waren ARMA-Modelle im Bereich der Finanzmodellierung nicht immer die beste Wahl, da diese häufig nicht-lineare Daten umfassen, die zum Teil stark mit früheren Datenpunkten korrelieren.
Vor diesem Hintergrund wurden ARCH-Modelle beliebt, da sie einen angemessenen Rahmen für die Inklusion und die Testung von Modellrestriktionen der Nicht-Linearität oder der Autoregression der Daten bieten konnten. ARCH-Modelle werden daher im Allgemeinen als nicht-lineare Zeitreihen-Modelle aufgefasst.
ARCH-Modelle unter der Lupe
Das ARCH-Modell basiert auf der Idee, dass die Schwankungen von Zeitreihendaten nicht stabil sind, sondern von vergangenen Schwankungen beeinflusst werden können. In diesem Zusammenhang wird angenommen, dass die Volatilität einer Zeitreihe durch vorherige Volatilitätsniveaus beeinflusst wird. Das Modell nutzt eine sog. autoregressive Komponente, um die Beziehung zwischen der aktuellen Volatilität und vergangenen Schwankungen zu erfassen. Mit anderen Worten: Es berücksichtigt bewusst die Volatilität vergangener Perioden, um Aussagen über künftige Kursschwankungen zu finden.
Das ARCH-Modell beruht auf einzelnen Datenpunkten, die rekursiv definiert werden können:
\begin{aligned}x_{t}&=\sigma _{t}\epsilon _{t}\\\end{aligned}
\(x_{t} \) stellt dabei den Datenpunkt i-ten Datenpunkt der Zietreihe dar. Es wird ersichtlich, dass jeder Wert \( x_i \) aus einer sytematischen Schwankung (Standardabweichung) und einem unsystematischen Rauschen \( \epsilon_i \) besteht.
\begin{aligned}Var(x_t|x_{t-1},...,x_{t-p}) = \sigma _{t}^{2}&=a_{0}+a_{1}x_{t-1}^{2}+\dotsb +a_{p}x_{t-p}^{2},\end{aligned}
Die Schwankung zu einem Zeitpunkt kann, wie oben gezeigt, anhand der Werte vergangener Zeitreihendaten berechnet werden. Wichtig zu verstehen ist, dass in einer solchen Modellierung mit bedingten Varianzen gearbeitet wird. Eine bedingte Varianz ist nicht konstant, sondern hängt maßgeblich von einer fest definierten Zahl vorhergehender Werte ab. Anhand von gängigen Optimierungsverfahren wie der Methode der kleinsten Quadrate lassen sich die Parameter von ARCH-Modellen berechnen.
Zusammenfassung
Das ARCH-Modell erfreut sich bei Finanzanalysten einer großen Beliebtheit und wird verwendet, um die Volatilität von Finanzmärkten zu modellieren und Kursverläufe vorherzusagen. Die ARCH-Modellierung ermöglicht eine solide Bewertung von Risiken in Finanzportfolios und ein abgeleitetes Risikomanagement.
Quellen:
Gouriéroux, C. (1997). ARCH models and financial applications. Springer Science & Business Media.
Kreiß, J. P., & Neuhaus, G. (2006). Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag.